암산 팁
제곱을 통째로 외우기보다 기준이 되는 수와 차이를 이용하면 계산 과정을 이해하며 익힐 수 있습니다.
제곱수는 어떤 수를 자기 자신과 곱한 결과입니다. 12의 제곱은 12 × 12이고, 기호로는 12²라고 씁니다. 제곱수는 넓이 계산이나 수의 크기 비교에서 등장하며, 곱셈 암산을 점검하는 기준으로도 쓸 수 있습니다. 작은 제곱수를 잘 알고 있으면 제곱이 포함된 계산을 빠르게 가늠할 수 있습니다.
외워야 할 숫자를 무작정 늘리면 비슷한 값이 뒤섞이기 쉽습니다. 대신 10, 20, 50처럼 계산하기 편한 수를 기준으로 삼고, 목표 수가 기준에서 얼마나 떨어져 있는지 살핍니다. 제곱의 전개식은 이 차이를 체계적으로 계산하게 해 줍니다. 계산 원리와 몇 가지 기준값을 함께 기억하면, 외운 값이 확실하지 않을 때도 다시 구할 수 있습니다.
수 n을 기준 수 a와 차이 d의 합으로 쓰면 n = a + d입니다. 따라서 n² = (a + d)² = a² + 2ad + d²가 됩니다. 기준 제곱 a²에 기준과 차이의 곱을 두 배 더하고, 차이의 제곱을 더하는 구조입니다. 기준보다 작은 수는 n = a − d로 두어 n² = a² − 2ad + d²를 사용합니다.
예를 들어 30에 가까운 수는 30을 기준으로 둘 수 있습니다. 기준과의 차이가 작으면 2ad와 d²를 머릿속에서 처리하기 쉽습니다. 기준 수를 너무 멀리 잡으면 보정량이 커지므로, 목표 수와 가까운 10의 배수나 5의 배수를 선택하는 편이 보통 편리합니다. 어떤 기준을 써도 같은 값을 얻어야 하며, 계산이 단순한 기준을 고르면 됩니다.
또 다른 규칙은 연속된 제곱수의 차이입니다. (n + 1)² − n² = 2n + 1이므로 다음 제곱수로 갈 때 더하는 수는 연속된 홀수입니다. 1²에서 2²로 갈 때 3을 더하고, 2²에서 3²로 갈 때 5를 더합니다. 이 규칙은 표를 만들거나 작은 제곱수를 순서대로 확인할 때 쓸 수 있습니다.
10의 배수를 기준으로 잡으면 기준 제곱의 끝자리를 기억하기 쉽습니다. 50을 기준으로 하면 50² = 2,500이고, 60을 기준으로 하면 60² = 3,600입니다. 반면 차이가 크거나 두 배 보정항이 복잡하면 다른 기준을 선택해도 좋습니다. 정답만 적기보다 기준과 보정항을 따로 적으면 실수한 단계를 찾기 쉽습니다.
1단계: 23은 20보다 3 크므로 23 = 20 + 3으로 씁니다.
2단계: 20² = 400, 2 × 20 × 3 = 120, 3² = 9를 계산합니다.
3단계: 세 값을 더하면 400 + 120 + 9 = 529입니다.
검산: 23 × 23 = 23 × 20 + 23 × 3 = 460 + 69 = 529입니다.
1단계: 48은 50보다 2 작으므로 48 = 50 − 2입니다.
2단계: 50² = 2,500이고, 2 × 50 × 2 = 200, 2² = 4입니다.
3단계: 기준보다 작으므로 가운데 항을 빼고 차이 제곱을 더합니다. 2,500 − 200 + 4 = 2,304입니다.
검산: 48 × 48 = 48 × (50 − 2) = 2,400 − 96 = 2,304입니다.
1단계: 65를 60 + 5로 나눕니다.
2단계: 60² = 3,600, 2 × 60 × 5 = 600, 5² = 25입니다.
3단계: 3,600 + 600 + 25 = 4,225이므로 65² = 4,225입니다.
검산: (60 + 5) × 65 = 3,900 + 325 = 4,225입니다.
가장 흔한 실수는 가운데 항 2ad를 빠뜨리는 것입니다. (a + d)²는 a² + d²만으로 계산되지 않습니다. 예를 들어 (20 + 3)²에서 400과 9만 더하면 409가 되지만, 2 × 20 × 3 = 120도 더해야 529가 됩니다. 전개식을 말로 읽으며 항을 세 개 모두 적어 보세요.
기준보다 작은 수에서는 가운데 항의 부호가 음수입니다. 48²에서 2,500에 200을 더하면 기준인 50²보다 더 큰 결과가 되어 방향부터 맞지 않습니다. 다만 차이의 제곱 d²는 항상 양수이므로 마지막에 더한다는 점도 기억해야 합니다.
제곱과 두 배를 혼동하지 않도록 주의합니다. 65²는 65를 두 번 곱하는 값이며, 65 × 2와 다릅니다. 결과가 원래 수보다 작거나, 자릿수가 예상과 크게 다르면 곱셈의 뜻을 다시 확인합니다.
먼저 10부터 20까지의 제곱을 계산해 보고, 이웃한 제곱수의 차이가 3, 5, 7처럼 홀수로 증가하는지 확인합니다. 그다음 20, 30, 40, 50을 기준으로 주변 수를 계산합니다. 기준 수와의 차이를 1부터 5까지 바꿔 보면 전개식의 보정항이 어떻게 달라지는지 비교할 수 있습니다.
정답을 외우는 연습과 다시 만들어 내는 연습을 함께 하세요. 문제를 풀 때는 기준 수, 차이, 세 항을 소리 없이 순서대로 확인하고, 끝난 뒤에는 다른 곱셈 방식으로 검산합니다. SumGym 홈으로 이동해 연습 모드의 곱셈 문제를 풀면 전개에 필요한 곱셈 계산도 반복할 수 있습니다.