암산 팁
정확한 값을 다시 구하지 않고도 어림과 일의 자리, 9로 나눈 나머지로 큰 실수를 걸러 낼 수 있습니다.
암산은 종이에 쓰지 않기 때문에 중간 계산이 틀려도 눈에 보이지 않습니다. 틀린 답을 맞는 답이라고 믿고 넘어가면 그 값을 쓰는 이후의 계산도 모두 어긋납니다. 그래서 계산을 마친 뒤에 답이 말이 되는지 확인하는 단계가 필요합니다.
검산이라고 해서 처음부터 다시 계산할 필요는 없습니다. 이 글에서 소개하는 방법은 정확한 값을 다시 구하지 않고도 결과가 대략 맞는지, 일의 자리가 맞는지, 자릿수가 맞는지를 짧은 시간에 확인합니다. 어느 것도 정답을 증명하지는 못하지만, 큰 실수를 대부분 걸러 내는 용도로 쓰기에는 충분합니다.
어림은 계산하기 쉬운 가까운 수로 바꾸어 대략의 크기를 구하는 것입니다. 387을 400으로, 496을 500으로 바꾸면 두 수의 합이 900 근처라는 것을 바로 알 수 있습니다. 정확한 값이 이 근처에서 크게 벗어나면 계산이 잘못된 것입니다.
일의 자리 검산은 덧셈과 곱셈의 결과에서 일의 자리가 어떻게 정해지는지를 이용합니다. 두 수를 더하거나 곱할 때 결과의 일의 자리는 두 수의 일의 자리만으로 결정됩니다. 예를 들어 47 × 63의 일의 자리는 7 × 3 = 21에서 1이 됩니다. 십의 자리 이상은 일의 자리에 영향을 주지 않기 때문입니다.
9로 나눈 나머지를 이용한 검산은 흔히 구거법이라고 부릅니다. 10을 9로 나눈 나머지는 1이므로, 어떤 수를 9로 나눈 나머지는 각 자리 숫자의 합을 9로 나눈 나머지와 같습니다. 예를 들어 238은 2 + 3 + 8 = 13이고, 13의 각 자리 숫자를 다시 더하면 1 + 3 = 4이므로 238을 9로 나눈 나머지는 4입니다. 덧셈과 곱셈의 결과를 9로 나눈 나머지는 각 수의 나머지끼리 같은 연산을 한 결과와 같습니다.
자릿수 검사는 곱한 결과의 크기를 가늠하는 방법입니다. a자리 수와 b자리 수를 곱하면 결과는 a + b − 1자리이거나 a + b자리입니다. 10 × 10 = 100은 3자리이고 99 × 99 = 9,801은 4자리인 것처럼 범위가 정해져 있으므로, 자릿수가 어긋나면 바로 오류를 알 수 있습니다.
1단계: 어림으로 387을 400, 496을 500으로 바꾸면 합은 900 근처입니다. 두 수 모두 바꾼 값보다 작으므로 실제 합은 900보다 약간 작아야 합니다.
2단계: 정확히 계산하면 387 + 496 = 883입니다.
3단계: 일의 자리를 확인합니다. 7 + 6 = 13이므로 일의 자리는 3이어야 하고, 883의 일의 자리도 3입니다.
검산: 883은 어림값 900보다 조금 작고 일의 자리도 맞으므로 통과입니다.
1단계: 2자리 × 2자리이므로 결과는 3자리 또는 4자리입니다. 어림으로 50 × 60 = 3,000이므로 3,000 근처여야 합니다.
2단계: 정확히 계산하면 47 × 60 = 2,820이고 47 × 3 = 141이므로 2,820 + 141 = 2,961입니다.
3단계: 일의 자리는 7 × 3 = 21에서 1이어야 하고, 2,961의 일의 자리도 1입니다.
검산: 2,961은 3,000에 가깝고 4자리이며 일의 자리도 맞으므로 통과입니다.
1단계: 238의 각 자리 숫자의 합은 2 + 3 + 8 = 13이고, 1 + 3 = 4이므로 238을 9로 나눈 나머지는 4입니다.
2단계: 45의 각 자리 숫자의 합은 4 + 5 = 9이므로 45는 9의 배수이고, 9로 나눈 나머지는 0입니다.
3단계: 나머지끼리 곱하면 4 × 0 = 0입니다. 따라서 238 × 45도 9로 나눈 나머지가 0이어야 합니다.
4단계: 계산한 결과 10,710의 각 자리 숫자의 합은 1 + 0 + 7 + 1 + 0 = 9이므로 9로 나눈 나머지는 0입니다.
검산: 238 × 45 = 238 × 40 + 238 × 5 = 9,520 + 1,190 = 10,710이고, 나머지가 일치하므로 통과입니다.
1단계: 238 × 45의 답을 10,701이라고 적었다고 해 봅시다. 각 자리 숫자의 합은 1 + 0 + 7 + 0 + 1 = 9이므로 9로 나눈 나머지가 0이라서 이 검사는 통과합니다. 숫자의 자리가 바뀐 실수는 이 검사로 잡히지 않는다는 뜻입니다.
2단계: 같은 답에서 일의 자리를 확인합니다. 8 × 5 = 40이므로 일의 자리는 0이어야 하는데 10,701은 1로 끝나므로 어긋납니다. 일의 자리 검사가 오류를 잡았습니다.
3단계: 이번에는 답을 10,720이라고 적었다고 해 봅시다. 일의 자리는 0이라 통과하지만, 각 자리 숫자의 합이 1 + 0 + 7 + 2 + 0 = 10이므로 9로 나눈 나머지는 1입니다. 기대한 0과 다르므로 9로 나눈 나머지 검사가 오류를 잡았습니다.
검산: 올바른 답은 10,710입니다. 두 검사를 함께 쓰면 한 가지 검사만 쓸 때보다 놓치는 오류가 줄어듭니다.
첫째, 검사를 통과했다고 정답이라고 믿는 실수입니다. 일의 자리와 9로 나눈 나머지 검사는 틀렸다는 것을 알려 주는 검사일 뿐이고, 통과해도 틀린 답일 수 있습니다. 예제 4의 10,701처럼 한 검사는 통과하고 다른 검사가 오류를 잡는 경우도 있습니다.
둘째, 9로 나눈 나머지를 구할 때 자리 숫자의 합이 두 자리가 되었는데 한 번 더 더하지 않는 실수입니다. 13은 1 + 3 = 4로 줄이고, 합이 9나 18처럼 9의 배수이면 나머지는 0입니다.
셋째, 어림을 너무 거칠게 해서 쓸모가 없어지는 경우입니다. 387을 1,000으로 바꾸는 식으로 어림하면 실제 값과 차이가 너무 커서 틀린 계산을 구별하지 못합니다. 가까운 10이나 100의 배수로 바꾸는 정도가 적당합니다.
넷째, 뺄셈과 나눗셈에 같은 방법을 그대로 쓰는 실수입니다. 뺄셈의 일의 자리 검사는 일의 자리끼리 뺄 때 모자라면 10을 더해서 계산해야 합니다. 나눗셈은 몫에 나누는 수를 곱해서 처음 수가 되는지 확인하는 것이 더 쉽습니다.
SumGym 홈에서 사칙연산 탭을 고르고 곱셈이나 나눗셈 모드로 문제를 풀 때, 답을 입력하기 전에 자릿수와 일의 자리가 맞는지 속으로 확인하는 순서를 만들어 보세요. 오답을 제출하면 같은 문제가 그대로 유지되므로, 어떤 검사로 그 오류를 잡을 수 있었는지 되짚어 보는 것도 좋은 연습입니다. 60초 챌린지처럼 시간이 중요한 경우에는 가장 빠른 일의 자리 검사만 쓰고, 연습 모드에서는 9로 나눈 나머지 검사까지 써 보세요.