암산 팁
나누지 않고도 배수인지 알아보는 규칙은 모두 10진수의 자리값 구조에서 나옵니다. 이유와 함께 정리했습니다.
어떤 수가 다른 수로 나누어떨어지는지 바로 알면 약분, 나눗셈, 인수분해가 모두 빨라집니다. 456/924 같은 분수를 약분할 때 두 수를 직접 나누어 보지 않아도 판별법으로 공약수를 찾을 수 있고, 나눗셈의 몫을 어림하기 전에 정말 나누어떨어지는지 확인할 수도 있습니다.
판별법은 외워서 쓰는 규칙처럼 보이지만 모두 10진수의 자리값 구조에서 나옵니다. 이유를 알면 규칙을 잊어버려도 다시 만들 수 있습니다. 이 글에서는 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11의 배수 판별법을 다룹니다. 7의 판별법은 상대적으로 복잡해서 이 글에서는 다루지 않습니다.
10은 2와 5의 배수이므로 어떤 수에서 일의 자리를 제외한 부분은 항상 10의 배수이고, 따라서 2, 5, 10의 배수인지는 일의 자리만 보면 됩니다. 100은 4의 배수이므로 끝의 두 자리만 보면 4의 배수인지 알 수 있습니다. 1,000은 8의 배수이므로 끝의 세 자리만 보면 8의 배수인지 알 수 있습니다.
10을 3으로 나누면 나머지가 1이고 10을 9로 나누어도 나머지가 1입니다. 100과 1,000도 3과 9로 나누면 나머지가 모두 1입니다. 그래서 어떤 수를 3이나 9로 나눈 나머지는 각 자리 숫자의 합을 3이나 9로 나눈 나머지와 같습니다. 11은 사정이 다릅니다. 10을 11로 나눈 나머지는 −1과 같게 취급할 수 있어서 자리마다 +1, −1이 번갈아 나타나고, 그래서 자리 숫자를 번갈아 더하고 빼서 판별합니다.
1단계: 일의 자리가 6이므로 2의 배수입니다. 5의 배수도 10의 배수도 아닙니다.
2단계: 끝의 두 자리 56은 4 × 14이므로 4의 배수이고, 끝의 세 자리 456은 8 × 57이므로 8의 배수입니다.
3단계: 각 자리 숫자의 합은 3 + 4 + 5 + 6 = 18이므로 3의 배수이고 9의 배수입니다.
4단계: 2의 배수이면서 3의 배수이므로 6의 배수입니다.
검산: 3,456 ÷ 8 = 432이고 3,456 ÷ 9 = 384이므로 맞습니다.
1단계: 오른쪽 끝에서부터 자리 숫자를 적으면 1, 9, 2, 8, 1, 9입니다.
2단계: 홀수 번째 자리(1, 2, 1)의 합은 4이고, 짝수 번째 자리(9, 8, 9)의 합은 26입니다.
3단계: 두 합의 차이는 26 − 4 = 22이고, 22는 11의 배수이므로 918,291은 11의 배수입니다.
검산: 918,291 ÷ 11 = 83,481입니다.
1단계: 일의 자리가 4이므로 2의 배수입니다. 5와 10의 배수는 아닙니다.
2단계: 끝의 두 자리 74는 4로 나누면 18 나머지 2이므로 4의 배수가 아닙니다. 끝의 세 자리 574도 8로 나누면 71 나머지 6이므로 8의 배수가 아닙니다.
3단계: 각 자리 숫자의 합은 2 + 5 + 7 + 4 = 18이므로 3의 배수이고 9의 배수이며, 2의 배수이기도 하므로 6의 배수입니다.
4단계: 오른쪽부터 4, 7, 5, 2이므로 홀수 번째의 합은 4 + 5 = 9, 짝수 번째의 합은 7 + 2 = 9이고 차이가 0이므로 11의 배수입니다.
검산: 2,574 = 2 × 9 × 11 × 13이므로 2, 3, 6, 9, 11의 배수라는 결과와 일치합니다.
1단계: 두 수가 모두 짝수이므로 2로 약분해 228/462가 됩니다.
2단계: 228의 각 자리 숫자의 합은 2 + 2 + 8 = 12이고 462는 4 + 6 + 2 = 12이므로 둘 다 3의 배수입니다. 3으로 약분해 76/154가 됩니다.
3단계: 76과 154는 모두 짝수이므로 2로 약분해 38/77이 됩니다.
4단계: 38 = 2 × 19, 77 = 7 × 11로 공약수가 없으므로 38/77이 기약분수입니다.
검산: 456 ÷ 12 = 38, 924 ÷ 12 = 77이므로 두 수를 12로 약분한 것과 같습니다.
첫째, 4나 8의 배수를 판별할 때 일의 자리만 보는 실수입니다. 4는 끝의 두 자리, 8은 끝의 세 자리를 읽어야 합니다. 예제 3의 2,574는 일의 자리 4만 보면 4의 배수처럼 보이지만 끝의 두 자리 74가 4의 배수가 아니므로 4의 배수가 아닙니다.
둘째, 3과 9를 판별할 때 자리 숫자의 합을 잘못 더하거나, 합이 18이나 27처럼 크다는 이유로 9의 배수가 아니라고 판단하는 실수입니다. 합이 9의 배수이면 되므로 18과 27도 해당합니다.
셋째, 6을 판별할 때 2의 배수 조건이나 3의 배수 조건 중 하나만 확인하는 실수입니다. 6의 배수이려면 두 조건을 모두 만족해야 합니다.
넷째, 11의 배수를 판별할 때 위치의 기준을 바꾸는 실수입니다. 홀수 번째와 짝수 번째는 오른쪽 끝에서부터 세어야 합니다. 두 합의 차이가 음수가 나와도 0이거나 11의 배수이면 11의 배수로 판단합니다.
SumGym 홈의 사칙연산 탭에서 나눗셈 모드를 고르면 모든 문제가 나머지 없이 나누어떨어지도록 만들어집니다. 문제가 나오면 나누어지는 수가 나누는 수의 배수라는 사실을 판별법으로 먼저 확인해 보고, 몫을 어림한 뒤 입력하는 순서로 연습해 보세요. 나누는 수가 3이나 9일 때는 각 자리 숫자의 합을 구해 보는 식입니다. 오답을 제출하면 같은 문제가 유지되므로 계산 과정을 다시 살펴볼 수 있습니다.