암산 팁
순서와 상관없이 몇 개를 고를 때는 조합을 씁니다. 순열에서 순서의 중복을 나누면 nCr이 됩니다.
대표를 뽑거나 팀을 정하는 것처럼 순서와 상관없이 몇 개를 고르는 문제에서는 조합을 씁니다. 같은 사람들을 뽑았다면 뽑은 순서가 달라도 같은 결과이므로, 순열로 센 값에서 겹치는 만큼을 줄여야 합니다.
조합은 순열과 가장 많이 혼동되는 주제입니다. 계산 방법보다 어느 쪽을 써야 하는지 구분하는 것이 더 중요하므로 이 글에서는 둘을 구분하는 기준도 함께 정리합니다.
5명 중 2명을 뽑을 때 순서를 따지면 5P2 = 20가지입니다. 그런데 A와 B를 뽑은 경우와 B와 A를 뽑은 경우는 같은 팀이므로 한 가지로 세어야 합니다. 2명을 일렬로 놓는 방법이 2! = 2가지이므로 순서의 중복은 2배입니다. 그래서 순열을 2!로 나눕니다. 일반적으로 r개를 뽑을 때 순서의 중복은 r!배이므로 nCr = nPr ÷ r! = n! ÷ (r! × (n − r)!)입니다.
조합에는 대칭성이 있습니다. n개 중에서 r개를 뽑는 것은 뽑지 않을 (n − r)개를 고르는 것과 같으므로 nCr = nC(n − r)입니다. 10C8을 직접 계산하기보다 10C2를 계산하면 훨씬 쉽습니다. 또 nC0 = nCn = 1이고 nC1 = n입니다.
가장 쉬운 기준은 뽑은 대상의 순서를 바꾸면 다른 결과가 되는지 확인하는 것입니다. 회장과 부회장을 뽑는다면 두 직책이 다르므로 순서가 중요해서 순열입니다. 대표 두 명을 뽑는다면 두 사람의 역할이 같아서 순서가 필요 없으므로 조합입니다. 같은 사람들을 뽑았는데 결과가 같다고 볼 수 있으면 조합, 다르다고 보아야 하면 순열입니다.
1단계: 분자는 5 × 4 = 20이고 분모는 2 × 1 = 2입니다.
2단계: 20 ÷ 2 = 10입니다.
검산: 5P2 = 20을 2!로 나눈 값과 같습니다.
1단계: 분자는 8 × 7 × 6 = 336이고 분모는 3 × 2 × 1 = 6입니다.
2단계: 336 ÷ 6 = 56입니다.
검산: 8 × 7 × 6에서 6을 먼저 약분하면 8 × 7 = 56이 되어 같은 값입니다.
1단계: 8개를 뽑는 것은 뽑지 않을 2개를 고르는 것과 같으므로 10C8 = 10C2입니다.
2단계: 10C2 = (10 × 9) ÷ (2 × 1) = 90 ÷ 2 = 45입니다.
검산: 직접 계산하면 10! ÷ (8! × 2!) = 3,628,800 ÷ (40,320 × 2) = 45로 같습니다.
1단계: 분자는 9 × 8 × 7 × 6 = 3,024이고 분모는 4 × 3 × 2 × 1 = 24입니다.
2단계: 3,024 ÷ 24 = 126입니다.
검산: 분자의 8과 분모의 4 × 2를, 분자의 9와 분모의 3을, 분자의 6을 분모의 남은 부분과 약분해도 126이 나옵니다.
1단계: 대표 2명은 순서가 없으므로 6C2 = (6 × 5) ÷ 2 = 15입니다.
2단계: 회장과 부회장은 직책이 다르므로 6P2 = 6 × 5 = 30입니다.
검산: 30은 15에 2!를 곱한 값이므로 순열이 조합의 r!배라는 관계와 맞습니다.
첫째, r!로 나누는 것을 빠뜨리는 실수입니다. 이러면 조합이 아니라 순열을 계산한 것이 됩니다. 계산 결과가 순열 값이 아닌지 한 번 의심해 보세요.
둘째, 분모를 (n − r)!로 착각하는 실수입니다. 조합의 분모는 r!이며, 분자는 n부터 r개를 곱한 값입니다. 공식으로 쓸 때는 n! ÷ (r! × (n − r)!)처럼 두 팩토리얼이 함께 나옵니다.
셋째, 대칭성을 쓰지 않아 계산이 길어지는 실수입니다. r이 n의 절반보다 크면 n − r로 바꾸어 계산하면 곱할 개수가 줄어듭니다.
넷째, 순서가 있는 문제에 조합을 쓰는 실수입니다. 직책, 등수, 자릿수처럼 역할이 구별되면 순열을 써야 합니다.
SumGym 홈에서 경우의수 탭을 고르고 조합 모드를 선택합니다. 8C3처럼 표기가 나오면 r이 n의 절반보다 큰지 먼저 확인하고, 필요하면 n − r로 바꾼 뒤 분자와 분모를 약분하며 계산해 값을 입력하세요. 쉬움, 보통, 어려움 순으로 n과 r이 커집니다. 순열 모드와 번갈아 연습하면 두 개념을 구분하는 데 도움이 됩니다.