암산 팁
동전과 주사위는 던질 때마다 가짓수를 곱합니다. 눈의 합이나 앞면의 횟수 같은 조건이 붙을 때 세는 방법도 정리했습니다.
동전과 주사위는 결과의 가짓수가 분명하고 서로 영향을 주지 않아서 경우의 수를 배우는 대표 소재입니다. 이후에 확률을 배울 때도 같은 소재가 계속 나오므로, 경우의 수를 정확하게 세는 연습이 도움이 됩니다.
동전을 한 번 던지면 앞면과 뒷면 2가지가 나오고, 주사위를 한 번 던지면 1부터 6까지 6가지가 나옵니다. 여러 번 던질 때 각 던지기의 결과는 서로 영향을 주지 않으므로 곱의 법칙으로 모두 곱합니다. 그래서 동전을 n번 던지면 2를 n번 곱한 2ⁿ가지, 주사위를 n번 던지면 6을 n번 곱한 6ⁿ가지입니다.
2의 거듭제곱은 2, 4, 8, 16, 32, 64로 두 배씩 늘어나고, 6의 거듭제곱은 6, 36, 216, 1,296으로 늘어납니다. 서로 다른 물건을 함께 던지는 경우도 같은 방식입니다. 동전 1개와 주사위 1개를 함께 던지면 2 × 6 = 12가지입니다.
조건이 붙는 경우에는 조건에 맞는 경우만 셉니다. 두 개의 주사위를 던질 때 눈의 합이 정해진 값이 되는 경우의 수는 아래와 같습니다. 두 주사위를 구별해서 (3, 6)과 (6, 3)을 서로 다른 경우로 세므로 전체는 36가지입니다.
앞면이 정확히 몇 번 나오는지를 묻는 문제는 조합을 씁니다. 동전을 n번 던질 때 앞면이 정확히 k번 나오는 경우는 n번의 던지기 중 앞면이 나올 k번을 고르는 방법의 수이므로 nCk가지입니다.
1단계: 던질 때마다 2가지씩이므로 2를 5번 곱합니다.
2단계: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32입니다.
1단계: 던질 때마다 6가지씩이므로 6을 3번 곱합니다.
2단계: 6 × 6 = 36이고 36 × 6 = 216입니다.
1단계: 동전 하나당 2가지, 주사위는 6가지이므로 곱의 법칙을 씁니다.
2단계: 2 × 2 × 6 = 24입니다.
검산: 동전 2개의 결과가 4가지이고, 각각에 대해 주사위가 6가지이므로 4 × 6 = 24로 계산해도 같습니다.
1단계: 합이 9인 눈의 조합을 나열합니다: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3).
2단계: 나열한 경우는 4가지입니다.
검산: 첫 번째 주사위가 1이나 2이면 두 번째 주사위가 8이나 7이 되어야 하므로 불가능하고, 3, 4, 5, 6일 때만 가능하므로 4가지가 맞습니다.
1단계: 4번의 던지기 중 앞면이 나올 2번을 고르는 방법이므로 4C2를 계산합니다.
2단계: 4C2 = (4 × 3) ÷ (2 × 1) = 6입니다.
검산: 앞면이 나오는 위치를 나열하면 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)의 6가지입니다.
첫째, 2ⁿ을 2 × n으로 계산하는 실수입니다. 동전을 5번 던지는 경우는 2 × 5 = 10이 아니라 2를 5번 곱한 32입니다. 던질 때마다 가짓수가 곱해진다는 점을 기억하세요.
둘째, 두 주사위를 구별하지 않고 세는 실수입니다. 눈의 합이 9인 경우에서 (3, 6)과 (6, 3)은 다른 경우입니다. 이 둘을 한 가지로 세면 4가지가 아니라 3가지로 틀립니다.
셋째, 앞면이 나오는 횟수를 묻는 문제에서 조합을 쓰지 않고 횟수를 그대로 답으로 쓰는 실수입니다. 4번 중 앞면이 2번이라는 조건은 2가지가 아니라 앞면이 나올 위치를 고르는 4C2 = 6가지입니다.
넷째, 던지는 물건의 개수와 횟수를 헷갈리는 실수입니다. 동전 2개를 한 번 던지는 것과 동전 1개를 2번 던지는 것은 결과의 가짓수가 같지만, 문제에서 구별되는 물건인지를 확인해야 합니다.
SumGym 홈에서 경우의수 탭을 고르고 동전·주사위형 모드를 선택합니다. 이 모드에서는 동전이나 주사위를 여러 번 던졌을 때의 모든 경우의 수를 묻는 문제가 나오고, 난이도가 올라갈수록 던지는 횟수가 늘어납니다. 눈의 합이나 앞면의 횟수를 세는 문제는 따로 나오지 않으므로, 이 글의 예제 4와 5로 직접 연습해 보세요.